3.2 洛仑兹变换公式
本书采用初等几何学方法推导，简单直观。
1. 坐标系旋转不变量
下图中，矢量OA的模是坐标系旋转不变量。
（x, y）与（x′,y′）的变换关系已在附录A中推导出。它们的变换关系式为
（3）
（4）
上面公式中，x与x′的关系，将用于推导洛仑兹变换。
2. 推导洛仑兹变换公式
为了应用上面的公式，须使–ct变为正值，故设
（6）
于是
不变式的形式从A2–B2 变为x2＋u2 。
借用坐标系旋转不变量的公式，用下面的方法求出洛仑兹变换公式。
对于x2＋u2 ，公式（3）和（4）式变为
（7）
（8）
现在，我们看一种特殊情况。在图8中，光矢OA的方向几乎与Y（Y′）轴平行，这时可以近似地把A点看作是在Y′轴上，于是有近似关系：
和
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
最后把u还原为t，即用
代入上式，导出
（14）
（15）
公式（14）和（15）是洛仑兹变换公式。当S′系沿OX轴逆向运动时，而且光源也是沿OX
轴逆向运动时，如图9所示。
应用相同的推导方法，仍然可以得到公式（14）和（15）。很明显，只要光源的运动方向与光的发射方向相同，就会得到光影收缩的结果。
3. 光影膨胀的公式
如果光源的运动方向与光波的发射方向相反，如图10所示，则有
上面的结果是S系中的观测者，在自已的S系中观测到的。相当于S′系的光影比S系中的光影大，即光影膨胀。
光影收缩或膨胀都是相对论效应，并不代表本征值的实际变化。从图9和图10看出，光源的运动方向和光波的发射方向，将影响观测的结果，但是这个结果只具有理论意义。
类似于前一节的推导方法，可以求出公式（16）和（17）如下：
（16）
（17）
实际上，只须把（x–vt）换成(x+vt)。
上面的公式说明，光源的运动方向和光的发射方向对观测结果有影响。把上面几个公式合在一起，为
（18）
（19）
重要提示：我们能够观测到光影的收缩和膨胀吗？我们不能。一方面，坐标的绝对值没有测量的可操作性，即没有可观测性。另一方面，上面的公式只具有理论意义，因为它们是抽象时空中的量。我们将设法从上面的公式，导出具有可观测意义的相对量（第4章）。